椭圆形封头上的应力分布是连续均匀变化的，因其受力较好且易加工制造，被广泛用于石油化工设备中，是化工设备的重要部件之一。椭圆形封头在成形过程中，钢板受到双向拉伸作用(见图 1)，按照国家标准《压力容器第4部分：制造、检验和验收》(GB 150.4—2011)中表 4冷成形件变形率控制指标，需要对冷成形椭圆形封头进行变形率计算^[1]，来判断其成形后是否需要进行恢复性能热处理。国家标准中虽然给出了变形率的计算公式，但是未给出椭圆形封头冷成形变形率计算的关键参数成形后中面半径(R_f)的取值方法。

图 1

椭圆形封头冷成形双向拉伸示意图

椭圆形封头冷成形变形率的计算按式(1)进行^[1]：

式中：δ——板材厚度，mm;

R_f——成形后中面半径，mm;

R_o——成形前中面半径(对于平板为∞)，mm。

分析变形率计算公式(1)可知：成形后中面半径R_f与变形率成反比关系，其值越小，得到的变形率越大。由于椭圆形封头曲线的曲率是逐点变化的^[2]，若得到其最大变形率，就需要求出最小的曲率半径。

由于椭圆形封头几何特征造成经线曲率平滑连续，故封头中应力分布比较均匀。如图 2所示，经向应力σ_ϕ恒为拉应力，且短轴顶点为最大值，长轴端点为最小值。对于纬度方向的周向应力，可能出现负值，在短轴顶点为最大拉应力，长轴端点为最小拉应力或最大压应力^[2]。

图 2

椭圆形封头应力方向示意图^[3]

在内压作用下，由于封头和筒体连接处的几何不连续，在封头边界上产生横向剪切应力和弯矩，在封头与筒体连接处附近的封头上产生局部薄膜应力和弯曲应力。封头上最大应力发生部位、方向及大小随着a/b的变化如图 3虚线所示。

图 3

封头上最大应力随着a/b的变化^[2]

从图 3可知：

(1) 1.0＜a/b≤1.2时，封头最大应力为周向拉伸应力，位于椭圆壳底边;

(2) 1.2＜a/b≤2.5时，封头最大应力为经向拉伸应力，位于椭圆过渡区内壁;

(3) 2.5＜a/b时，封头最大应力为周向压缩应力，位于椭圆过渡区外壁。

由以上分析可知，椭圆形封头最大应力点位置随a/b的改变而变化，当a/b＞1.2时，最大应力总是处于椭圆过渡区位置。而椭圆过渡区位置的曲率半径与纬度和经度方向曲率半径、球面半径相比是最小的，如图 4所示。

图 4

椭圆形封头曲率半径示意图^[3]

经上述分析可知：椭圆形封头圆弧过渡区是最大应力时常发生的位置，在实际生产制造中该位置是壁厚减薄最严重的部位，过渡区半径是椭圆形封头曲率半径中最小的，因此将过渡区半径r作为成形后中面半径R_f是合理的。

通过几何作图法、解析法分析得到椭圆形封头圆弧过渡区半径r，再将其作为成形后中面半径R_f，从而计算出椭圆形封头冷成形变形率，可供设计者和工程技术人员参考，该方法也可为其他形式封头冷成形变形率计算提供参考。